マンデルブロー集合

Last-modified: Mon, 28 Mar 2011 23:09:58 JST (2761d)

実験・研究

フラクタル図形の中でも有名な「マンデルブロー集合」を可視化 した図形です。

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マンデルブロー集合(Mandelbrot Set)とは †

マンデルブロー集合は、複素平面上で定義される集合です。 具体的には、複素数の列{z(i)} (i=0,1,2,...)を考えた場合、 　　　　　　　　　　　　 　

z(0) = 0　　　　　　　　　　　　　　　 　
z(n+1) = z(n)^2 ＋ C

の様な{z(n)}が発散しないようなC=(cx + i*cy)の集合として定義されます。

この集合の境界は非常に複雑で、フラクタル図形といわれる「自己相似」の 性質をもつものです。

複素数計算が必要 †

ただし、複素数は２元数なので、１つの数でありながら、２つの実数の組で あらわされるなど、複素数が取り扱えないプログラミング言語を利用する場合 には、２つの数を取り扱うように作る必要があります。

２つの数を扱うからといって特に難しいところはありませんが、複素数 a + i*b に含まれる、「虚数単位 i」に関する次の演算に関する規則を考慮する必要があります。

i * i = -1

これは実際には、i の定義でもあります。

StarLogoでの実現方法 †

様々な方法が考えられると思いますが、ここはひとまず、もっともオーソドックスな やりかたでの実現を目指します。 すなわち、

pachの座標をC=(x + i*y)として、式z = z^2 + Cの収束をみる

というものです。

ただし、実際に、マンデルブロー集合の存在範囲は、xを実数部、yを虚数部と すると、せいぜい

−２≦x≦0.5，−1.25≦y≦1.25

の範囲にしかない事がわかっているので、StarLogoのpatchの一片を長さ１と 考えてしまうと、この集合はほとんど数個のパッチの中に含まれてしまい 面白くありません。

そこで、実際のパッチの座標を適当な比率で小さく変換して、それで計算 した結果を表示することにします。

GUIによる調整 †

マンデルブロー集合は、スケールや、実際に表示される範囲をいろいろ変えて 観察すると楽しいので、その様な数値は変数としておいて、利用者が 自由に変えられる様にしておくこととします。

表示色 †

また、収束にかかった回数によって色分けをするという表示方法もよく行われて いますので、それにも取り組みます。

ソースコード †

このプログラムは、パッチに対してのみプログラミングします。StarLogoの重要 な要素であるタートルは直接使っていません。

変数 †

集合の計算範囲を(xmin,ymin)-(xmax,ymax)とします。 また、itrは繰り返し回数です。

globals [ xmin ymin xmax ymax  itr colscale ]

初期設定 †

繰り返しの最大回数は100回とします。

計算範囲であるxmin,ymin,xmax,ymaxは、パラメータである、 cenx, ceny(中心座標）、rsize(表示範囲の幅） を設定します。

to minit 
	set itr 100
	set xmin (cenx - (rsize * 0.5)) / scale
  	set xmax (cenx + (rsize * 0.5)) / scale
  	set ymin (ceny - (rsize * 0.5)) / scale
  	set ymax (ceny + (rsize * 0.5)) / scale
end

計算 †

実際に、z = z^2 + c の繰り返しを実行します。 各パッチに対して、繰り返し計算を行っています。

to mcalc

  ask-patches [

    let [:cx (xmin + xcor * (xmax - xmin)) ]
    let [:cy (ymin + ycor * (ymax - ymin)) ]

    let [:zx 0]
    let [:zy 0]
    let [:tx :cx]
    let [:ty :cy]
    let [:cnt 0]

    repeat itr [
      ;; z = z*z + c iteration
      set :tx (:zx * :zx) - (:zy * :zy)
      set :ty (:zx * :zy) + (:zy * :zx)
      set :zx (:zx + :tx + :cx)
      set :zy (:zy + :ty + :cy)

      let [ :a sqrt ((:zx * :zx) + (:zy * :zy))]

      if :a > 4.0 [ setpc  :cnt stop ]
      set :cnt (:cnt + 1)
    ]
    setpc black
 ]
end

メイン †

ここでは、ca(clear all)や、minit(初期化）、mcalc(計算）を順に呼んでいます

to mandelbrot
  ca
  minit
  mcalc
end

GUI †

今回作ったウィンドウをみてください。

各ＧＵＩは次の様に設定しました。名前は、変数名と手続き名をそのまま 使っています。

感想 †

できるに決まっているとわかっていながら、この絵がでたときには ほっとした。

やりのこし †

まだまだ洗練されておらず、もう少し試行錯誤が必要かもしれません。

使い勝手としては、

• 範囲指定をもう少しわかりやすくやりたい。たとえば、
  • ２匹のタートルを配置し、そこを(xmin, ymin)と(xmax, ymax)とみなす
  • エリア上をドラッグして、ラバーバンドなどで範囲指定
  • 拡大/縮小中心を（タートルの配置などで）指定し、拡大/縮小ボタンでリアルタイム に計算、表示を行う

など。みためでは、

• 色わけをもう少しきれいにしたい。

などが解決されればと思います。

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更新履歴 †

2005/06/17 †

patches-own [ xmin ymin xmax ymax  itr colscale ]

を

globals [ xmin ymin xmax ymax  itr colscale ]

に変更。それに伴い minit も変更。

mcalc

は計算だけにして、メインプログラムとしてmandelbrotを作った。

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Link: 実験・研究(2761d) マンデルブロー集合その２(2761d)